朝が苦手な人間が綴るブログ (限界大学院生編)

基礎こそ物の上手なれ. 人間万事塞翁が馬. を大切にしている経済学徒.

ポアソン分布の証明

ポアソン分布の証明をしてみます。

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ポアソン分布とは、試行回数 nが十分大きく、確率 pが小さい場合に、 np = 一定であり、 pN = \lambdaとし、 p \to 0,  N \to \inftyとなるときに、 Xポアソン分布に従うといい、 X \sim P_0 (\lambda)と書く。

ポアソン分布は(も)確率分布であり、二項分布の極限として捉えることができる。


\displaystyle
P_0(k, \lambda) = \lim_{N \to \infty} {}_n C_r \left( \frac{\lambda}{N} \right)^k \left( 1- \frac{\lambda}{N} \right)^{N-k}

を考える。

 Proof:

\begin{eqnarray} P_0 (k, \lambda) &=& \lim_{N \to \infty} \frac{N!}{(N-k)! k!} \left( \frac{\lambda}{N} \right)^k \left( 1- \frac{\lambda}{N} \right)^{-k} \left( 1- \frac{\lambda}{N} \right)^{N} \\ &=& \lim_{N \to \infty} \frac{N \cdot (N-1) \cdot \cdots \cdot (N-k+1)}{k!} \left( \frac{ \frac{\lambda}{N}} {1- \frac{\lambda}{N}} \right)^k \left( 1- \frac{\lambda}{N} \right)^{N} \\ &=& \lim_{N \to \infty} \frac{N \cdot (N-1)\cdot\cdots \cdot(N-k+1)}{(N-\lambda) \cdot (N-\lambda) \cdot \cdots \cdot (N-\lambda)} \cdot \frac{\lambda^k}{k!} \cdot \left( 1-\frac{\lambda}{N} \right)^N \\ &=& \lim_{N \to \infty} \left( \frac{1}{1-\frac{\lambda}{N}} \right) \cdot \left( \frac{1-\frac{1}{N}}{1-\frac{\lambda}{N}} \right) \cdot \left( \frac{1-\frac{2}{N}}{1-\frac{\lambda}{N}} \right) \cdot \cdots \cdot \left( \frac{1-\frac{k - 1}{N}}{1-\frac{\lambda}{N}} \right) \cdot \frac{\lambda^k}{k!} \cdot \left[ \left( 1-\frac{\lambda}{N} \right) ^{-\frac{N}{\lambda}} \right]^{-\lambda} \\ &=& \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} \end{eqnarray}

 note:


\displaystyle
\lim_{N \to \infty} \left( 1-\frac{\lambda}{N} \right)^{-k} = 1


\displaystyle
\lim_{N \to \infty} \left( 1-\frac{\lambda}{N} \right)^{N} = e^{-\lambda}

さいごに

最後まで読んでいただきありがとうございました。
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参考文献

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